Teorema sulla continuità delle funzioni derivabili. Home page. Analisi. Classe quinta. TEOREMA SULLA CONTINUITA' DELLE FUNZIONI DERIVABILI . Enunciato: Se la funzione y = f (x) è derivabile nel suo punto di ascissa x. 0 allora è ivi continua. Cioè: . Hp: f ( x 0 ) Ts: limh → 0 f (x 0 + h ) = f ( x 0 ) Dimostrazione: .. Brevemente: La derivata della somma di due funzioni derivabili esiste ed è uguale alla somma delle derivate": y = f ( x ) + g ( x ) → y ' = f '( x ) + g '( x ) Altri modi di schematizzare il teorema possono essere: ( f + g )' = f ' + g ' , D [ f ( x ) + g ( x ) ] = Df ( x ) + Dg ( x ) Dimostrazione.

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Se una funzione è derivabile non implica che la funzione è necessariamente continua. Se una funzione è differenziabile allora ammette tutte le derivate direzionali e inoltre è possibile calcolare le derivate direzionali senza usare il limite ma usando questa formula:. Teorema. Sia una funzione derivabile in . Allora è continua in . Dimostrazione. Vogliamo provare che. Per ipotesi. Possiamo scrivere. e, passando al limite per si ottiene. CVD. Non vale il viceversa! Come accade sempre in questi casi, per provare la falsità dell'implicazione inversa è sufficiente esibire un controesempio.